Lição 36: Alguns corolários das lições anteriores

b3. É um corolário evidente — b6. Isósceles e escaleno — b9. pois, se assim fosse, — b15. Contudo, se o atributo — b19. Também é claro que — b24. De modo similar, se A não — b32. Quando devemos provar — b38. E como em outras esferas — a2. Nos silogismos, então, — a3. No caso dos negativos — a7. Se temos que mostrar que — a10. Na terceira figura

Após mostrar que um processo ao infinito não ocorre nas demonstrações, o Filósofo aqui apresenta certos corolários do que foi estabelecido. Quanto a isso, faz duas coisas. Primeiro, mostra que é necessário aceitar certas proposições primeiras. Segundo, como essas coisas primeiras devem ser usadas nas demonstrações (8032). Sobre o primeiro, faz duas coisas. Primeiro, mostra que é necessário chegar a um primeiro, quando uma coisa é predicada de várias. Segundo, quando uma coisa é predicada de uma (84b19). Sobre o primeiro, faz quatro coisas. Primeiro, enuncia a proposição pretendida. Segundo, manifesta a proposição (84b6). Terceiro, prova-a (84b9). Quarto, exclui uma objeção (84b15).

Diz, portanto, primeiro (84b3) que, tendo demonstrado o que foi dito, ou seja, que não há processo ao infinito nas predicações e demonstrações, é claro que, se algo é predicado de duas coisas, digamos A de C e de D, de modo que uma delas não é predicada da outra, isto é, ou de modo algum, como animal é predicado de homem e boi, mas nenhum deles é predicado do outro de forma alguma; ou não em todos os casos, como animal é predicado de homem e macho, nenhum dos quais é universalmente predicado do outro: quando os termos, repito, estão assim relacionados, é claro que não há necessidade de que esse predicado, que é predicado de ambos, esteja neles em virtude de algo comum a ambos e isso, por sua vez, em virtude de outra coisa, e assim ao infinito.

Em seguida (806), ele cita um exemplo para esclarecer o que está propondo. Pois há duas espécies de triângulo, uma das quais é escaleno (nenhum dos três lados é igual a qualquer outro) e a outra é isósceles (tendo dois lados que são iguais). Mas nenhuma dessas espécies é predicada da outra, e, no entanto, esse atributo próprio de ter três ângulos iguais a dois retos está presente em ambas. Além disso, esse atributo está presente nelas em virtude de algo comum, a saber, que cada uma é uma certa figura, ou seja, um triângulo. Contudo, esse processo não continua indefinidamente, de modo que algo sempre pertenceria a ele em virtude de outra coisa e assim ao infinito, de modo que "ter três" pertenceria ao triângulo em virtude de outra coisa novamente, e assim ao infinito.

Então (84b9), ele prova sua proposição e diz: Suponha-se que B é predicado de C e de D em virtude dessa característica comum A. Ficará claro então que B estará em C e em D em virtude dessa característica comum que é A. Ora, se A, por sua vez, está neles em virtude de algo comum, que novamente está neles em virtude de algum outro item comum, haverá um processo infinito nos médios. Segue-se, portanto, que entre os dois extremos C e B cai uma infinidade de termos médios. Mas isso é impossível. Portanto, se uma mesma coisa está em várias coisas, não é necessário que ela esteja nelas sempre em virtude de outra coisa ad infinitum, porque é necessário chegar a certas "distâncias imediatas", isto é, certas predicações imediatas, que ele chama de "distâncias", como explicado acima.

Como se pode ver a partir desta prova de Aristóteles, não é seu entendimento que nem sempre é verdade que, quando algum item é predicado de vários, que não são, por sua vez, predicados uns dos outros, esse item não está nos vários em virtude de algo comum. Pois isso é verdadeiro em tudo que é predicado como atributo próprio: pois, se está em vários, é necessário que esteja neles em virtude de algo comum que pode até ser inominado, como explicamos acima quando tratamos sobre o universal. Mas não há processo infinito naquilo que é comum, como prova claramente esta razão introduzida pelo Filósofo. No entanto, se algo for tomado que está em vários como um gênero em suas espécies, nem sempre será necessário encontrar algo anterior em virtude do qual esteja neles. Por exemplo, "vivente" está no homem e no asno em virtude de algo anterior, a saber, em virtude de "animal", mas não está no animal e na planta em virtude de algo anterior, porque estas são as primeiras espécies de "vivente", i.e., de corpo animado.

Então (84b15), ele exclui uma objeção. Pois alguém poderia dizer que é sempre tomado em virtude de algo comum, no sentido de que algo de outro gênero poderia ser encontrado comum a eles: por exemplo, se dissermos que "ser automovente" está no homem e no asno em virtude dessa característica comum que é "animal" e também em virtude de alguma outra característica comum como "ter quantidade" ou ter cor ou outras coisas desse tipo que podem ser tomadas ad infinitum.

Para excluir isso, ele diz que é exigido dos termos médios que sejam tomados do mesmo gênero e "dos mesmos átomos", i.e., indivisíveis. (Por "átomos" ele significa aqueles termos extremos entre os quais o médio deve ser tomado, se aquele item comum que é tomado como termo médio deve ser contado entre as coisas que são predicadas per se). Por que os termos médios devem ser tomados do mesmo gênero, ele mostra a partir do fato de que, como afirmado acima, uma demonstração não cruza de um gênero para outro.

Em seguida (84b19), mostra que é necessário chegar a um primeiro entre os predicáveis, no qual uma coisa é predicada de uma. Primeiro, nas afirmativas. Em segundo lugar, nas negativas (84b24).

Diz, portanto, primeiramente (84b19) que é claro que, quando A é predicado de B, se houver um meio-termo entre eles, podemos usar esse meio-termo para demonstrar que A está em B: e estes são os princípios desse tipo de conclusão. E quaisquer que sejam tomados como meios-termos são os princípios das conclusões mediatas que são concluídas através deles. Pois os “elementos” ou princípios das demonstrações nada mais são do que proposições imediatas: e quero dizer “ou todas essas proposições ou as universais”.

Agora, isso pode ser entendido de duas maneiras: de um modo, de forma que a proposição universal seja tomada em oposição à singular. Pois não é em virtude de um meio-termo que a espécie mais especial é predicada de um singular. Portanto, esta proposição, “Sócrates é homem”, é imediata, embora não seja um princípio de demonstração, porque as demonstrações não se ocupam de singulares, visto que não há ciência de tais coisas. Consequentemente, nem toda proposição imediata, mas apenas a que é universal, é um princípio de demonstração. De outro modo, pode ser entendida no sentido de que, de todas as proposições de uma ciência, as proposições universais são as proposições comuns, como “Todo todo é maior que sua parte”. Portanto, estas são absolutamente os princípios das demonstrações e evidentes por si mesmas para todos. Mas a proposição “O homem é animal” ou “O isósceles é triângulo” não é um princípio de demonstração em toda a ciência, mas apenas para algumas demonstrações particulares; portanto, tais proposições não são evidentes por si mesmas para todos.

Consequentemente, se houver um meio-termo para uma dada proposição, demonstrar-se-á através de um meio-termo até que algo imediato seja preparado. Mas se não houver um meio-termo para uma dada proposição, ela não pode ser demonstrada. E este é o caminho para encontrar os principais princípios das demonstrações, a saber, proceder por análise dos mediatos aos imediatos.

Então (84b24), mostra que é necessário chegar a um primeiro nas negativas, dizendo que, se A é negado de B, se houver um meio-termo a ser tomado do qual A é removido antes de ser removido de B, então esta proposição, “B não é A”, será demonstrável. Mas se não houver tal meio-termo a ser tomado, essa proposição não será demonstrável, mas será um princípio de demonstração. E há tantos “elementos”, i.e., princípios de demonstrações, quantos são os termos nos quais se para de tal modo que não haja mais meio-termo a encontrar. Pois as proposições formadas por tais termos são princípios de demonstrações. Assim, se C é predicado imediatamente de B, e A é imediatamente removido de B ou imediatamente predicado dele, B é o termo final alcançado entre os meios-termos a serem tomados; portanto, cada proposição será imediata e um princípio de demonstração.

Além disso, fica claro pelo que foi dito que, assim como há certos princípios afirmativos indemonstráveis nos quais uma coisa é predicada de uma coisa, significando que isto é essencialmente aquilo (como quando um gênero é predicado de uma espécie próxima) ou que isto está naquilo (como quando um atributo próprio é predicado de seu sujeito próprio e imediato), assim também há princípios indemonstráveis nas negativas, a saber, negando que algo é um predicado essencial ou um atributo próprio. Disto fica evidente que existem certos princípios de demonstração para demonstrar uma conclusão afirmativa (que deve ser concluída a partir de todas as proposições afirmativas), e existem certos princípios de demonstração para provar uma conclusão negativa (para inferir a qual é necessário que algo negativo seja tomado).

Então (84b32), mostra como as primeiras proposições devem ser usadas na demonstração. Primeiro, nas demonstrações afirmativas. Em segundo lugar, nas negativas (85a3). Em relação ao primeiro, faz três coisas. Primeiro, mostra como as primeiras e imediatas proposições devem ser tomadas nas demonstrações. Segundo, como essas proposições se relacionam com as demonstrações (8038). Terceiro, resume (85a2).

Diz, portanto, primeiramente (84b32) que, quando se é obrigado a demonstrar uma conclusão afirmativa, por exemplo, “Todo B é A”, é necessário primeiro tomar algo que seja predicado de B antes que A o seja, e do qual A também seja predicado, digamos C. Além disso, se houver algo do qual A seja predicado antes que A seja predicado de C, e algo antes disso, e assim por diante, então nenhuma proposição e nenhum termo significando um ser fora de A será tomado na demonstração, porque será necessário que A seja predicado dele per se de tal modo que esteja contido sob ele e não lhe seja estranho; mas será sempre necessário condensar (aglomerar) os meios-termos. (Aqui ele fala de acordo com um exemplo de homens que parecem aglomerados quando estão sentados num banco e não há espaço para ninguém mais sentar entre quaisquer dois que estejam sentados; da mesma forma, os meios-termos nas demonstrações são condensados quando nenhum meio-termo cai entre os termos tomados). E este é o seu significado quando diz: “o meio-termo é condensado até que os espaços se tornem indivisíveis”, i.e., as distâncias entre dois termos são tais que não podem ser divididas em várias distâncias dessas, mas há apenas um espaço. E isso ocorre quando uma proposição é imediata. Pois é então que uma proposição é una, não apenas em ato, mas em potência, quando é imediata. Pois se é mediata, embora seja una em ato (porque uma coisa é predicada de uma coisa), é, de fato, várias em potência, porque, quando o meio-termo é tomado, formam-se duas proposições. Da mesma forma, uma linha que é una em ato, enquanto contínua, é várias em potência, enquanto divisível num ponto intermediário. Por isso, ele diz que uma proposição imediata é una como algo simples e indivisível.

Então (8038), mostra a relação entre uma proposição imediata e uma demonstração. Aqui, deve-se notar que, como é dito na Metafísica X, em todo gênero deve haver uma primeira coisa que é a mais simples nesse gênero e é a medida de todas as coisas nesse gênero. E porque uma medida é homogênea à coisa medida, esses primeiros indivisíveis variarão conforme a diversidade dos gêneros. Portanto, não serão os mesmos em todos os gêneros: mas quanto aos pesos, toma-se um indivisível, a onça ou mina, como peso mínimo (embora não seja o mínimo absoluto, porque todo peso é ainda divisível em pesos menores, mas é tomado como mínimo por suposição). Novamente, nas melodias, toma-se como um princípio “um tom”, que consiste numa proporção de oitava e meia ou uma “diesis”, que é a diferença entre um tom e um semitom. Similarmente, em gêneros diversos, há princípios indivisíveis diversos.

Ora, os princípios de um silogismo são proposições; portanto, é necessário que a proposição mais simples, que é imediata, seja a unidade que é a medida dos silogismos. Mas a demonstração tem, além do silogismo, o acréscimo de que causa ciência. Ora, o “entendimento” e a ciência estão relacionados como a unidade indivisível está relacionada com os muitos. Pois a ciência é efetuada indo dos princípios às conclusões, enquanto o “entendimento” é a aceitação absoluta e simples de um princípio evidente por si mesmo. Portanto, o “entendimento” corresponde à proposição imediata, e a ciência, a uma conclusão, que é uma proposição mediata. Consequentemente, a unidade indivisível de uma demonstração considerada como silogismo é a proposição imediata. Mas, por parte da ciência que ela causa, a unidade é o “entendimento”.

Em seguida (85a2), ele resume e conclui o que foi estabelecido acima, ou seja, que o termo médio nos silogismos afirmativos não está fora dos extremos.

Em seguida (85a), ele mostra como usar proposições imediatas em silogismos negativos. Primeiro, na primeira figura. Segundo, na segunda (85a7). Terceiro, na terceira (85a10).

Ele diz, portanto, primeiro (85a3) que, nos silogismos negativos da primeira figura, nenhum dos termos médios tomados ao avançar para as proposições imediatas estará fora do gênero dos termos de uma proposição afirmativa; por exemplo, se for necessário demonstrar que “Nenhum B é A”, e o termo médio tomado é C, temos o seguinte silogismo: “Nenhum C é A; mas todo B é C: portanto, nenhum B é A”. Ora, se for preciso provar que “Nenhum C é A”, será necessário tomar um termo médio entre C e A, isto é, um que seja predicado de C e, consequentemente, de B; assim, ele pertencerá ao gênero dos termos da proposição afirmativa. E assim sempre acontecerá que os termos médios tomados não estarão fora da proposição afirmativa, embora estejam fora do gênero do predicado negativo, ou seja, fora do gênero de A.

Em seguida (85a7), ele mostra como ocorre na segunda figura, dizendo que, se for necessário demonstrar na segunda figura que “Nenhum E é D”, tomando C como termo médio, de modo a formar o silogismo “Todo D é C; mas nenhum E é C ou algum E não é C: portanto, nenhum E é D ou nem todo E é D”, o termo médio tomado nunca estará fora de E. Pois, se for necessário demonstrar que “nenhum E é C”, será preciso encontrar um termo médio entre E e C, porque na segunda figura será sempre necessário provar uma negativa, já que uma afirmativa não pode ser concluída nessa figura. Assim, assim como na primeira figura os termos médios são sempre tomados do lado da proposição afirmativa, na segunda figura os termos médios serão sempre tomados do lado da proposição negativa.

Em seguida (85a10), ele mostra como ocorre na terceira figura, dizendo que, na terceira figura, os termos médios tomados não estarão fora do predicado que é negado, nem fora do sujeito do qual é negado. A razão para isso é que o termo médio é o sujeito em ambas as proposições, seja afirmativa ou negativa: portanto, se for necessário tomar ainda outro termo médio, ele deverá novamente atuar como sujeito de ambas, seja afirmando ou negando. E assim os termos médios tomados nunca serão tomados fora do predicado que é negado, nem fora do sujeito do qual é negado.