Lição 32: A Solução de Algumas Destas Dúvidas Depende da Solução de Outras Delas

Bekker: 82a21-b34

a2l. Ora, é evidente— a24. Pois suponha-se que A— a30. Tampouco tem qualquer efeito— a37. Além disso, se na afirmativa— b4. Pois uma conclusão negativa— b13. Na segunda figura— b23. A terceira figura mostra— b28. Mesmo supondo que a demonstração

Após levantar as questões, o Filósofo começa aqui a resolvê-las. E seu tratamento divide-se em duas partes. Na primeira, ele mostra que a solução de algumas dúvidas se reduz à solução de outras. Na segunda, ele resolve a dúvida quanto aos itens em que a dificuldade reside per se como em sua fonte (82b34) [L. 33]. Sobre a primeira, ele faz duas coisas. Primeiro, mostra que a dúvida concernente aos médios se reduz àquela que diz respeito aos extremos e é resolvida pela solução desta última. Em segundo lugar, mostra que a dúvida concernente às demonstrações negativas se reduz àquela que diz respeito às demonstrações afirmativas (82a37). Em relação à primeira, ele faz três coisas. Primeiro, enuncia sua proposição pretendida. Segundo, prova esta proposição (82a24). Terceiro, exclui um subterfúgio (82a30).

Diz, portanto, primeiro (82a21) que será evidente para quem considerar a seguinte razão que "não ocorre uma infinidade de médios", se as predicações tanto para cima quanto para baixo param em certos termos, a saber, no predicado mais alto e no sujeito mais baixo. E explica em que consistem a predicação ascendente e descendente, dizendo que se procede para cima quando há movimento para o mais universal, uma de cujas marcas é ser predicado; mas se procede para baixo quando há movimento para o mais particular, uma de cujas marcas é funcionar como sujeito.

Então (82a24) ele demonstra o que propôs da seguinte maneira: Suponha-se que A é o predicado mais alto e F o sujeito mais baixo, e que há uma infinidade de médios, cada um dos quais chamaremos de B. Ora, como A era o primeiro predicado, ele será predicado de algum médio próximo a ele, e esse médio, de outro médio abaixo dele. Como os médios são infinitos, segue-se que a predicação prosseguirá para baixo até o infinito — o que é contrário ao que estamos supondo. Pois foi suposto que as predicações não prosseguem para baixo até o infinito. O resultado é o mesmo se começarmos por F, que é o sujeito mais baixo, e prosseguirmos para cima até o infinito antes de atingir A — isso também seria contra nossa suposição. Portanto, se estas coisas são impossíveis, a saber, que se possa proceder até o infinito ascendendo ou descendo, será impossível que os médios sejam infinitos. Assim, fica claro que a questão de uma infinidade de médios se reduz a uma questão da infinidade dos extremos.

Então (82a30) ele exclui uma objeção. Pois alguém poderia objetar dizendo que a referida demonstração valeria se ABF, i.e., o médio e os extremos, estivessem de tal modo relacionados que fossem "contíguos" um ao outro, i.e., de modo que não houvesse médio entre eles: pois é assim que o Filósofo define "contíguo" na Física V, a saber, como aquilo que está próximo de algo sem nada entre si. E isto parecia estar suposto na demonstração acima, a saber, que A é predicado de algum médio como que "contíguo" a ele, i.e., seguindo-o imediatamente. Mas aquele que postula médios infinitos dirá que isto não pode ser suposto. Pois ele dirá que entre quaisquer dois termos que se tomem há um médio.

Mas o Filósofo diz que não faz diferença alguma se a infinitude é de médios que são "contíguos" uns aos outros, do modo como as coisas discretas o são (por exemplo, numa cidade, casa é consecutiva a casa, e nos números, unidade a unidade), ou se algo "contíguo" não pode ser encontrado nos médios, embora entre quaisquer dois médios seja sempre possível encontrar outro, como acontece nos contínuos, nos quais, entre quaisquer dois signos, i.e., entre dois pontos, outro pode ser encontrado entre eles.

Que isso não faz diferença, de um modo ou de outro, para a questão em pauta, ele manifesta da seguinte maneira: Concedido que entre A e F haja uma infinidade de médios, cada um dos quais chamado B, contudo, não importa qual destes eu empregue, ou há uma infinidade de médios entre ele e A e F, ou não há uma infinidade deles entre ele e um ou outro dos extremos. Por exemplo, suponhamos que os médios são mutuamente "contíguos", como acontece nas coisas discretas, e tomemos um médio que é "contíguo" a A; então será necessário que entre esse médio e F ainda haja uma infinidade de médios; e similarmente, se supusermos uma certa finitude de médios entre esse médio e A. E o mesmo raciocínio vale se o médio que se toma estiver unido imediatamente a F ou estiver distante dele por uma finitude de médios. Do fato, portanto, de que a partir de qualquer médio dado se deva tomar uma infinidade de médios para um ou outro dos extremos, não faz diferença se ele está unido a qualquer extremo imediatamente, i.e., sem um médio, ou não imediatamente, i.e., através de outros médios: porque mesmo que esteja unido a um extremo sem um médio, ainda será necessário depois encontrar uma infinidade de médios em relação ao outro. Consequentemente, será sempre exigido, se há uma infinidade de médios, proceder até o infinito nas predicações, seja ascendendo ou descendo, como a demonstração acima mostrou.

Então (82a37) ele mostra que se não há processo ao infinito nas demonstrações afirmativas, então tampouco nas demonstrações negativas: e assim a questão das demonstrações negativas se reduz à questão das afirmativas. Ele faz três coisas a respeito deste ponto. Primeiro, propõe o que pretende. Segundo, prova o que propôs (82b4). Terceiro, exclui uma objeção (82b28).

Ele diz, portanto, primeiro (82a37) que ficará claro a partir do que se segue que, se na predicativa, isto é, na demonstração afirmativa, ocorre uma parada em ambos os lados, ou seja, para cima e para baixo, será necessário que ocorra uma parada na demonstração negativa.

Para elucidar o que ele propõe, ele diz: Suponha-se o caso em que, a partir do último, isto é, do sujeito mais baixo, não se pode ir em ordem ascendente ao infinito em direção aos predicados universais. E ele explica que "último" significa aquilo que não está em nenhum outro como em um menos particular, mas algo outro está nele, e que seja F. E suponha-se também que não se vá ao infinito ao proceder do primeiro ao último. E ele explica que o "primeiro" significa aquilo que é predicado de outros, mas nada outro é predicado dele como mais universal do que ele. Assim, o "primeiro" é entendido como o mais universal, e o "último" como o mais particular. Se, portanto, em ambos os lados houver uma parada nas demonstrações afirmativas, ele diz que, como consequência, há também uma parada nas demonstrações negativas.

Então (82b4) ele prova sua proposição. Primeiro, na primeira figura. Em segundo lugar, na segunda (8513). Em terceiro lugar, na terceira (82b23). Pois uma negativa pode ser concluída em três figuras.

Ele diz, portanto, primeiro (82b4) que há três maneiras de demonstrar uma proposição negativa através da qual algo é significado não ser. De uma maneira, na primeira figura, segundo o modo em que B está universalmente em C na premissa menor afirmativa universal, mas A não está em nenhum B na premissa maior negativa universal. Ora, uma vez que estamos supondo que há uma parada nas afirmativas, tanto para cima quanto para baixo, é necessário que a proposição BC, que é afirmativa, se não for imediata, mas existir um espaço com médios entre B e C, seja reduzida a imediatas, porque esse espaço que existe entre o termo médio e o extremo é afirmativo, no qual se supõe uma parada. Mas se tomarmos o outro espaço, que está entre B e A, é claro que, se esta proposição "Nenhum B é A" não é imediata, é necessário que A seja removido de algo outro antes de ser removido de B. Seja este D. Ora, se este D for tomado como médio entre A e B, é necessário que ele seja predicado universalmente de B, porque a premissa menor deve ser afirmativa. E se esta também não for imediata, isto é, "Nenhum D é A", então A tem que ser negado de algo anterior a D, digamos E, o qual, pela mesma razão, será predicado universalmente de D. Portanto, uma vez que há uma parada nas afirmativas quando ascendemos, como se supõe, segue-se que se chega a algo do qual A deve ser negado primeiro e imediatamente; caso contrário, ir-se-ia ainda mais longe nas afirmativas, como é claro pelo que foi dito anteriormente.

Então (82b13) ele prova a mesma coisa para a negativa que é concluída na segunda figura. Pois suponha-se o caso em que B, que é o médio, é predicado universalmente de A e negado universalmente de C, de modo que a conclusão é "Nenhum C é A". Ora, se a premissa negativa precisa ser demonstrada por ser mediata, ela deve ser demonstrada ou na primeira figura, no modo de demonstrar acerca do qual mostramos que há uma parada, se há uma parada nas afirmativas; ou deve ser demonstrada através deste modo, isto é, na segunda figura, ou através de um terceiro modo, isto é, na terceira figura. Ora, foi estabelecido que há uma parada nas negativas da primeira figura, se há uma parada nas afirmativas. Consequentemente, o mesmo será agora demonstrado quanto à segunda figura.

Portanto, que esta proposição "Nenhum C é B" seja demonstrada de tal maneira que D seja predicado universalmente de B na premissa maior afirmativa universal e negado universalmente de C na premissa menor negativa universal. Ora, se a proposição "Nenhum C é D" é mediata, será necessário tomar algum outro médio que será predicado universalmente de D e universalmente removido de C. Continuando assim, será necessário proceder nas demonstrações negativas assim como fazemos nas afirmativas, ou seja, B será predicado de A, e D de B, e algo outro de D, e assim por diante ao infinito nas afirmativas. Mas porque estamos supondo uma parada para cima nas afirmativas, é também necessário chegar a uma parada nas negativas segundo este modo no qual uma negativa é demonstrada na segunda figura.

Então (82b23) ele mostra a mesma coisa na terceira figura. Portanto, seja B um médio do qual A é predicado universalmente, mas C é negado universalmente dele: a conclusão será uma negativa particular, isto é, C é negado de algum A. Ora, que haja uma parada na premissa afirmativa "Todo B é A" é concedido por nossa suposição. Além disso, que deve haver uma parada na negativa "Nenhum B é C", que é a maior, é evidente, porque se ela tivesse que ser demonstrada, seria feito ou "através do que foi dito acima", isto é, através da primeira e segunda figura, ou da maneira como a conclusão foi concluída, isto é, através da terceira figura, caso em que esta menor não é afirmada como universal, mas como particular. "Mas há uma parada nesse modo", isto é, se se procede na primeira e segunda figura. Mas se se procede na terceira figura para concluir que "Algum B não é C", tome-se um médio, E, tal que B seja universalmente afirmado dele, mas C seja particularmente negado dele. "Então isso acontece novamente de modo semelhante", isto é, segundo isso, proceder-se-á sempre na demonstração negativa acumulando predicações afirmativas em ordem descendente, porque B, que era o primeiro médio, será predicado de E, e E de algo outro, e assim por diante ao infinito. Mas uma vez que estamos supondo que há uma parada na ordem descendente nas afirmativas, é claro que haverá uma parada nas negativas da parte de C.

Então (82b28) ele exclui uma objeção. Pois alguém poderia dizer que é necessário parar nas proposições negativas quando há uma parada nas afirmativas, desde que se silogize sempre segundo a mesma figura; mas se se demonstra ora em uma figura, ora em outra, pode-se ir ao infinito. E ele diz que "é óbvio" que, se alguém não se limita a uma figura ao demonstrar, mas usa todas, procedendo ora na primeira figura, ora na segunda e na terceira, ainda assim deve haver uma parada nas negativas se há uma nas afirmativas. Pois essas várias maneiras de demonstrar são finitas, e cada uma delas será ampliada não ao infinito, mas finitamente, ascendendo ou descendendo, como foi mostrado. Ora, se coisas finitas são tomadas um número finito de vezes, o resultado é finito. Portanto, resta que em todos os modos deve haver uma parada nas demonstrações negativas, se há uma parada nas afirmativas.